不需證明的常識性認知為公理，經(jīng)過受邏輯限制的證明為真的陳述為定理。
歐幾里得用十條公理推導(dǎo)出465條定理，用465條定理構(gòu)造了整個經(jīng)典幾何世界。
各國中學(xué)生所學(xué)習(xí)的幾何母版，其實就是歐幾里得著于兩千多年前的。
在世界范圍內(nèi)的出版發(fā)行數(shù)量僅次于，我們依舊在學(xué)習(xí)兩千多年前的幾何教材，或許還將繼續(xù)學(xué)習(xí)兩千年。這就是“經(jīng)典教材”的定義。
歐幾里得先設(shè)定公理再證明定理，從而推導(dǎo)出整個經(jīng)典幾何世界的嚴謹思維令人驚嘆。即便在今天，這種邏輯推理思維與整體構(gòu)筑能力也堪稱變態(tài)。
唯一的疑點是，“歐幾里得第五公設(shè)”的常識性認知值得商榷。
歐幾里得最早設(shè)定的10個常識性認知，其實是5個公理5個公設(shè)。
近代數(shù)學(xué)將公設(shè)與公理合并，對于常識性的認知統(tǒng)稱為公理。
“歐幾里得第五公設(shè)”所描述的常識性認知，可等價表示為：過已知直線外一點，能且僅能作一條直線與已知直線平行。
“第五公設(shè)不難理解，并成為社會上大多數(shù)人的常識。”沈奇在黑板上隨手畫了一條長達一米八的直線，非常的直，像是拿尺子比出來的。
“我問山姆，嘿山姆，過已知直線外一點能作幾條直線與已知直線平行？”
“山姆告訴我，只能作一條平行線。山姆說這是他中學(xué)數(shù)學(xué)老師教他的，他認為這是常識性的問題，就如信用卡必須按時還款，否則將被起訴?！?br/>
“我問麗薩，她給我相同的答案。”
“對了，山姆是老虎旅館的經(jīng)理，人很不錯。而麗薩是經(jīng)濟學(xué)三年級的學(xué)生，超級火辣，人很可愛，她常去老虎旅館玩?！闭f到這里，沈奇在黑板上畫了個點。
“哇喔，奇，你已經(jīng)和麗薩約會了？”十二位數(shù)學(xué)系男生中的一半是宅男，并沒有女朋友，他們感到羨慕。
“這不是重點?！鄙蚱嫘奶鄣目粗@些宅男單身狗，承諾道：“幾個月之后你們進入普林斯頓滿兩年，我會介紹你們加入老虎旅館，普林斯頓最漂亮、最勁爆的姑娘們都在那里愉快玩耍?！?br/>
“great-key！”
“偉大奇！”
宅男們雞凍了，沈奇在他們心中的形象愈發(fā)光輝偉岸，老頭子教授們可不會帶他們?nèi)ゾ銟凡空J識漂亮姑娘。
“言歸正傳，重點是經(jīng)濟學(xué)專業(yè)的麗薩也學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論，但她并不認為過直線外一點，能作出兩條以上的平行線。”沈奇敲了敲黑上的那個小點，說到：“麗薩無法做到的事情，我們可以替她完成。歐幾里得第五公設(shè)在大多數(shù)情況下是常識，但當(dāng)光線通過大質(zhì)量星球時，我們必須使用非歐幾何，因為光線會彎曲。”
沈奇在黑板上徒手畫了一個圓，特別的圓，圓成這樣了○
圓內(nèi)兩點a、b由一條曲線連接，這條曲線在非歐幾何中代表直線。
“從宇宙的角度審視地球，過ab外一點，我們可以作出無數(shù)條平行線。”
沈奇給學(xué)生們溫習(xí)羅氏點和羅氏直線的知識點，加深學(xué)生們的印象。
穆勒教授在大課堂上講的很快，兩節(jié)大課之后已講到了黎曼幾何。
導(dǎo)修班是有必要的，這些二年級學(xué)生尚在學(xué)術(shù)成長期，他們需要一對一的單獨輔導(dǎo)，否則有可能抓狂。
偉大的歐幾里得留下了一條破綻，第五公設(shè)的普適性值得商榷，而這正是非歐幾何的開端。
非歐幾何分為兩個主要流派，羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何。
羅氏幾何即雙曲幾何，更多是從幾何角度出發(fā)。黎曼幾何即橢圓幾何，因為流形的引入，黎曼幾何與微分、拓撲、群論相交叉，研究起來的難度更大。
沈奇在羅氏幾何中，通過作圖演繹出了過直線外一點的無窮多條平行線，傳統(tǒng)意義上的平行概念消失，彎曲空間中的平行遵守羅氏平行公理。
在這個特殊的空間中，三角形的內(nèi)角和不再是180度，而是小于180度。
三角形的樣子也不再是剛正不阿的傳統(tǒng)三角形，沈奇用“魔鬼喇叭花”圖案，生動演繹了羅氏三角形內(nèi)角和小于180度的原理。
盧卡是個很有天賦的學(xué)生，他舉一反三的作出了一組“大魔鬼三角形”，詮釋了羅氏幾何中不存在任何一對不全等的相似三角形。
意大利人似乎對于作圖、繪畫、建筑有著天生的靈感和直覺，沈奇欣賞盧卡這個意大利學(xué)生，盧卡天賦佳、形象有特點，并保持了意大利男人一貫的騷氣。
盧卡不是宅男，他有女朋友，來美國后談過好幾個，目前處了個美國對象，姑娘挺俊俏，是阿拉巴馬州卡爾霍恩縣安尼斯頓鎮(zhèn)鎮(zhèn)長的女兒。
在普林斯頓，學(xué)渣真的找不到女朋友。
只有在搞定學(xué)業(yè)的前提下，男孩紙們才有精力和時間去社交，去參加體育運動展現(xiàn)肌肉，從而吸引并結(jié)識漂亮姑娘。
杰克-馬這位亞裔男孩也是沈奇欣賞的人，沈奇發(fā)現(xiàn)杰克-馬喜歡在幾何分析中加入代數(shù)處理。
杰克-馬通過一組漂亮的二維流形解釋了常曲率空間中的測地線性狀問題，得到了沈奇的贊譽。
導(dǎo)修課堂上的學(xué)術(shù)氣氛比較熱烈，沈奇用深厚的數(shù)學(xué)知識及通俗易懂的講解方式，贏得了全部學(xué)生的尊重與好感。
作為見面禮，沈奇只留下了一道作業(yè)題，他在黑板上畫了一個非常漂亮的圖形，像是把埃菲爾鐵塔作倒影處理后與原像一同展現(xiàn)。
“三天之內(nèi)，我希望能收到你們的作業(yè)，我的電子郵箱寫在了黑板上，你們可以發(fā)電子版作業(yè)給我，當(dāng)然也可以提交紙版，我的辦公室在路德大樓2樓a02室，歡迎隨時來找我?！?br/>
“下節(jié)導(dǎo)修課的開端，我將和你們一同探討這道題目。好了，今天的導(dǎo)修課到此結(jié)束，這是我來普林斯頓后度過最愉快的兩個小時，你們非?？蓯邸！?br/>
沈奇笑著揮揮手，離開了教室。
十二位學(xué)生陷入了沉思，他們盯著黑板上漂亮而古怪的圖案，半小時之內(nèi)沒有一人離開教室。此時已是晚上十點半，對于這些二年級學(xué)生來說，晚自習(xí)才剛剛開始。
助教的任務(wù)是輔助教授，引導(dǎo)本科生完成核心課程進修。
和一群可愛的各國大男孩們度過愉快的兩小時后，沈奇投入到他的主業(yè)中，他的主線當(dāng)然是科研線。
“穆勒-沈定理”的證明工作按計劃實施。
沈奇用三天時間完成了一個小細節(jié)處理，證明每個弱*閉凸集是近迫集，使得‖x*-yn*‖dist不失一般性。
今天是沈奇收作業(yè)的最后期限，十二份作業(yè)交齊了。
埃菲爾鐵塔作倒影處理后與原像一同展現(xiàn)，這道黎曼幾何的題目有一定難度。
只有三位學(xué)生運用高斯-博內(nèi)定理成功證明了，埃菲爾鐵塔和它的倒影是彎曲空間。
另外九位學(xué)生或多或少出現(xiàn)了錯誤判斷和解釋。
抄作業(yè)在普林斯頓是一件可恥的事情，后果嚴重到會讓一位學(xué)生信譽全失。
沈奇相信他的男孩子們不會抄作業(yè)，他逐一批改十二份作業(yè)。
“約翰，b?！?br/>
“阿爾希拉爾，b?！?br/>
“盧卡，a?！?br/>
“斯蒂芬，a?！?br/>
“杰克-馬，a?！?br/>
沈奇認真負責(zé)的批改作業(yè)，學(xué)生們的導(dǎo)修課作業(yè)成績是要留檔的。
“杰克-馬，我再看看，嗯，a?！?br/>
沈奇越看杰克-馬的作業(yè)越開心，這小伙子可以的，他在黎曼幾何中的微分處理得有我大二時的水平了吧，必須跟他添個號。...